几类不同增长的函数模型教学设计：
中学教案大全：
学习过程
一、复习提问
写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？
二、新课
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的
回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：
方案一：y＝40（x∈N＋）
方案二：y＝10x（x∈N＋）
方案三：y＝0.4× （x∈N＋）
方案一是常数函数，方案二是增函数，呈直线型
增长，方案三也是增函数，呈指数型增长，增长速度
比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。
投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。
再看累计回报数表P114。投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，
投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第
三种方案。
例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方
案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销
售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过
利润的25%。现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝ ＋1，y＝1.002x。其中哪个模型
能符合公司的要求？
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数
不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，
所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。
不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。
探究函数y＝ ，y＝ ，y＝ 的增长速度。
x 0.2 0.6 1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4
y=2x 1.149 1.516 2.000 2.639 3.482 4.595 6.063 8.000 10.556
y=x2 0.040 0.360 1.000 1.960 3.240 4.840 6.760 9.000 11.560
y=log2x -2.322 -0.737 0.000 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766
在区间（2,4），有 ＜ ＜
在区间（0,2）和（4，＋∞）有 ＜ ＜
可以在更大范围内观察函数y＝ ，y＝ 的图象的增长情况。
一般地，对于指数函数y＝ （a＞1）和幂函数y＝ （n＞0），通过探索可以发
现，在区间（0，＋∞）上，无论n比a大多少，尽管x在一定范围内， 会小于
但由于 的增长速度快于 ，因此总存在一个 ，当x＞ 时，就会有 ＞ 。
同样地，对于对数函数y＝ （a＞1）和幂函数y＝ （n＞0），在区间
（0，＋∞）上，随着x的增大， 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平
行一样。尽管x在一定范围内， 可能会大于 ，但由于 的增长慢于 ，
因此总存在一个 ，当x＞ 时，就会有 ＜ 。
综上所述，在区间（0，＋∞）上，尽管函数y＝ （a＞1）、y＝ （a＞1）
和y＝ （n＞0）都是增函数。但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上
随着x的增大，y＝ （a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝ （n＞
0）的增长速度，而y＝ （a＞1）的增长速度越来越慢。因此总存在一个 ，当x
＞ 时， ＜ ＜ 。
作业：P127 3、4
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